以递进式探究问题引领思维进阶

李冬梅

［摘 要］ 数学教学是数学思维的教学，好的数学课堂应在数学知识形成的过

程中充满数学思维. 因此，教师要重视问题的创设，引导学生亲历知识形成的

过程，以此帮助学生理解知识的来龙去脉，让学生的学习能力和思维能力在问

题的探究中得以发展和提升.

［Key］ 数学思维；数学思考；形成过程

数学概念、公式、定理等是构建数学知识体系的核心内容，是数学发展长河中

留下的宝贵财富. 基于此，教学中应重视引导学生参与知识形成的过程，让学

生在理解知识的同时，认清背后所蕴含的思想方法，明确数学知识结构以及内

部联系，促使学生的思维向高阶进阶.

问题是数学教学的灵魂，是催化思考、引发探究的源泉. 在课堂教学中，教师

应结合教学内容和学生学情创设有价值的问题，引导学生主动参与知识形成的

过程，让学生在问题的驱动下促成深度学习，切实提高学生的数学思维能力.

在教学“直线的倾斜角与斜率（第1 课时）”时，笔者结合教学实际创设问

题，引导学生主动参与知识的建构，在激发学生学习兴趣、发展学生思维能力

等方面取得了较好的效果，现将教学过程呈现给大家，若有不足，请指正！

教学分析

1. 教学内容分析

本课内容是高中平面解析几何的开始，其在教学中的地位和作用是不言而喻的.

直线的倾斜角是这一章节所有概念的基础，而斜率是这一章节概念的核心，理

解直线倾斜角和斜率的概念是学习本章节内容的关键. 同时本课内容也是后续

研究直线的方程、两直线的位置关系、点到直线的距离的基础. 另外，通过本

课的学习，可以让学生体会坐标法的初步应用，初步形成用代数法研究几何问

题的能力.

2. 教学目标

（1）掌握直线倾斜角和斜率的概念，明晰两者的区别与联系，会用斜率公式解

决简单的问题；

（2）体会用代数法研究几何问题的必要性，渗透几何问题代数化的解析几何思

想；

（3）通过亲历斜率公式推导过程，培养学生的分类讨论意识，提高学生的自主

探究能力.

3. 教学重点与难点

（1）理解并掌握倾斜角和斜率的概念；

（2）用代数法推导斜率公式.

教学过程

1. 体会倾斜角概念形成的过程

问题1 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何要素有哪些？

笔者先让学生独立思考，然后点名让学生回答，最后共同归纳总结，确定一条

直线有两种方式：①已知两点可以确定一条直线；②已知一点和一个方向可以

确定一条直线.

问题2 如图1 所示，过点O 作两条直线，试比较两条直线的倾斜程度.

该问题旨在通过对比分析让学生明确确定基准的必要性. 在教学中，笔者没有

直接将规定呈现给学生，而是通過互动交流让学生亲身体会，让学习自然而然

地发生. 教学片段如下：

师：说一说你的理由.

师：哦！如果我将两条直线转一转，你又有什么发现呢？（出示图2）

师：其实刚刚在判断直线的倾斜程度时，没有明确水平位置，所以解释起来比

较困难. 如图3 所示，现将未旋转的两条直线放入平面直角坐标系中，此时如

果用数学语言描述其倾斜程度，你觉得用哪种数学量来刻画比较好呢？

生3：可以用直线与x 轴的夹角来刻画.

师：哦，是吗？如图4 所示，此时两条直线的倾斜程度是否相同呢？

生3：两条直线与x 轴的夹角都是60°，相同吧？

生4：如果相同就是一个角对应两条直线，也就很难做到一一对应了.

师：很好，分析得非常有道理，为了做到一一对应，规定：当直线l 与x 轴相

交时，以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线

l 的倾斜角. 现在你们认为，图4 中两条直线的倾斜程度还相同吗？

生齐声答：不相同.

笔者用PPT 给出倾斜角的概念，让学生进一步理解和记忆.

设计意图 笔者没有直接给出倾斜角的概念，而是巧设问题引导学生关注研究问

题的标准，让学生在互动交流中体会倾斜角的基本特征，形成倾斜角的概念，

为接下来探究活动的开展打下坚实的基础.

2. 明确代数法研究的必要性

问题给出后，笔者预留充足的时间让学生自主探究，然后与学生互动交流.

生5：看上去两条直线是平行的，所以它们的倾斜角一样大.

师：如果让你去验证，你想如何验证呢？

生5：可以用量角器量倾斜角.

师：哦，是个办法，不过我们知道测量一般会产生一定误差，有没有其他办法

可以精准确定它们的大小呢？

生6：测量有误差，可以尝试用计算的方法来解决.

师：说说你的思路.

生6：可以根据点的坐标计算倾斜角的三角函数值，这样通过比较三角函数值

就可以知道哪条直线的倾斜角更大一些了.

师：非常好，你想利用哪个三角函数值来比较呢？

生6：我想利用正弦值来比较.

师：计算正弦值时可能会遇到哪些麻烦呢？

生6：求A，B 两点之间的距离比较麻烦.

师：有没有什么办法可以不用计算A，B 两点之间的距离呢？

生7：计算正切值就可以规避这一麻烦，只需要知道两点坐标就可以得到倾斜

角的大小.

师：请说一说你的求解过程.

师：很好，这里的正切值我们称为斜率.

笔者用PPT 给出斜率的定义（内容略）.

问题4 根据以上探究结果可知，倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度，两

者有何不同？你认为用哪个量刻画更优越呢？

学生通过交流一致认为，用斜率来刻画更优越，因为倾斜角是从形的角度来刻

画的，而斜率的实质是代数，是从数的角度来刻画的，显然用数来刻画更细致

入微.

设计意图 借助两条倾斜角非常接近的直线让学生进行思考辨析，体会用观察、

测量等手段很难判断直线的倾斜程度，让学生体会用代数法研究倾斜程度的必

要性，由此自然引出斜率的概念. 另外，笔者有意识地引导学生通过对比体会

利用正切值表示斜率的优越性，从而为接下来斜率公式的推导打下坚实的基础.

3. 尝试推导，深化认知

问题给出后，笔者让学生以小组为单位尝试推导. 在此过程中，笔者启发学生

在平面直角坐标系中画出不同的直线. 几分钟后，很多小组已经完成了推导，

笔者让各小组展示交流结果，其他小组进行点评.

生8：我们小组是分两种情况讨论的，图7①为倾斜角是锐角的情况，图7②为

倾斜角是钝角的情况. 推导过程如下：

设计意图 通过前面的铺垫，学生掌握了推导斜率公式的思路，于是笔者将主动

权交给学生，让学生独立完成斜率公式的推导，以此培养学生的逻辑推理能力.

在此过程中，渗透了特殊到一般、分类讨论等数学思想，促进学生数学思维能

力的发展.

4. 练习巩固，深化理解

问题6 已知A（4，2），B（－8，2），C（0，－2），求直线AB，BC，CA 的斜

率，并判断它们的倾斜角是什么角.

问题7 在平面直角坐标系中，请分别画出过坐标原点且斜率分别为1，－1，

3，－4 的直线.

学生独立求解，笔者巡视，并针对性地进行指导. 问题6 主要考查斜率公式的

掌握情况，渗透数形结合思想方法；问题7 主要考查学生的数形结合意识及灵

活应用斜率公式解决问题的能力.

设计意图 练习是巩固新知的必经之路，一方面可以加深学生对斜率公式的理

解，另一方面为后续研究直线的方程埋下伏笔.

5. 课堂小结，提升能力

问题8 通过本课的学习，你有哪些收获？

设计意图 通过对知识、方法、思想等进行有效的反思与回顾，加深学生对新知

的理解，帮助学生建构知识体系，促进学生的学习能力和思维能力向更高层次

进阶.

教学思考

数学教学不仅要关注学生对知识的掌握，更要关注学生能力的提升，要让学生

学会学习，获得可以持续学习的必备品格和关键能力. 为了这一目标的达成，

教师应为学生设计合适的教学情境，提出合适的数学问题，引导学生亲历数学

知识形成的過程，以此让学生理解知识的同时，提高学生的数学思维能力，促

进学生数学学科核心素养的形成和发展.

教师作为课堂教学的主导者，要不断学习、探索、实践，结合教学实际创设符

合学生认知规律的问题情境，推动学生的思维向高阶进阶. 在本课教学中，通

过递进式问题的创设引导学生经历倾斜角概念、斜率概念、斜率公式的形成过

程，让学生理解并掌握相关知识，灵活应用相关知识解决问题，促进学生思维

能力的发展和自主探究能力的提升. 同时，通过递进式探究问题的创设，给学

生更广阔的思考空间，充分体现学生的主体价值，激发学生的学习积极性，让

学生的学从被动走向主动，促进学生数学学科核心素养的提升. 问题情境的创

设在教学中发挥着举足轻重的作用. 在创设教学情境时，笔者认为教师应注意

以下几点.

1. 体现概念形成过程

数学概念是在生产生活中逐渐抽象而来的，数学概念的形成有其生动具体的实

际背景，因此在概念教学中，教师要带领学生经历概念形成、发展和应用的过

程，让学生明白概念的来龙去脉，以便学生可以灵活应用概念解决问题. 在设

计问题情境时，教师要重视概念出现的条件及它的独特性，引导学生在具体情

境中提炼并弄清概念的本质属性，培养学生思维的严谨性和深刻性.

例如，在教学“直线的倾斜角”的概念时，笔者通过创设递进式探究问题让学

生体会“基准”“正向”的作用和价值，以此加深学生对概念的理解，感受概

念的严谨性；又如，在引出斜率的概念时，通过对比分析让学生体会引入正切

值的优越性，渗透用代数法研究几何问题的解析几何思想.

2. 关注学生思考过程

在课堂教学中，教师常常会遇到这样的情况：教师反复讲、重复练，但是学生

遇到同类问题时还是不会做. 究其根源，与教师的教息息相关：教师成为课堂

上的“主角”，学生成为课堂上的“观众”，学生并未真正参与其中，因此学

生对知识的理解是浅层的、瞬时的，不能形成长久的、深刻的记忆，自然影响

学习效果. 基于此，教师在教学中应该通过创设问题情境来展示学生的思考过

程，帮助学生厘清知识的来龙去脉，以此实现知识的融会贯通.

例如，在推理斜率公式的过程中，笔者切实通过相关问题引导学生自主完成斜

率公式的推导，不仅让学生全面深刻地理解了斜率公式，而且培养了学生的合

作探究能力，促使学生数学抽象、归纳概括等能力得以提升.

总之，在高中数学教学中，教师要重视创设适当的问题情境，引导学生经历知

识形成的过程，让学生明白如何做，为什么这样做，切实提高学生学习的主动

性和积极性，帮助学生形成理性的思维习惯，助力学生全面发展.

-全文完-