微专题深度分析系列07 重庆一中•李红林 教师交流QQ 群：485619231 第 1 页 共 3 页

微专题深度分析系列07

———圆锥曲线中的弦切角定理

(2016 年重庆一中高二下周考文数20)已知椭圆经过点,O 为椭圆中心, A 为椭圆右顶点,直

22

22

1,(0)ab

xy

ab

(1,1)P

线PO交椭圆于另一交点B ,且满足.

0,2PA PBPBPA

(1)求椭圆的方程;

(2)若椭圆上存在两点,试问是否存在,使得AB,并说明理由.

,C D (异于,A B )，使(

)0OA

PCPD

PCPD

R

CD

参考答案：(1) 为等腰直角三角形,,又椭圆经过点,,所以椭圆方程为

OPA2a

(1,1)P

2

4

3

b

22

3xy

1.

44

(2)假设存在,使得AB,事实上,,的平分线垂直于OA,则,设直线

CDCPD

()0OA

PCPD

PCPD

PCPD

kk

PC 的方程为

1(1),yk x

代入椭圆方程得, ,即.

2222

22

361321kkkk361321kkkk

,xy(,)C

3131kk3131kk

22

同理,,而,,,. 故存在,

22

22

361321kkkk

(,)D

3131kk

1

3xx

CD

CD

CD

yy

k

(2,0)A( 1, 1)B 

1

3

AB

k

//CDAB

R

使得AB.

CD

（推广与引申）已知椭圆上的点,过点A 作斜率互为相反数的直线1

22

22

1,(0)ab

xy

ab

00

(,)A xy

2

,l l 与椭圆交于两

点

,B C ，则直线BC 的斜率与点A 处切线的斜率互为相反数

法一（韦达定理）：设直线AB 的斜率为k ，点，则其方程为，代入椭圆可得：

1122

(,),(,)B x yC xy()yyk xx

00

222222222

0000

()2()()0ba kxa k ykx xaykxa bx

，则有，

2222

00

1

222

0

()aykxa b

()ba kx

又直线AC 的斜率为k，

，同理：

2222

00

2

222

0

()aykxa b

()ba kx

x

222222

00

121020120

222

0

2 ()k a yb xa b

()()(2)yyk xxk xxk xxx

()ba kx

2222222222

00000

12

12BC

2222222

12

0000

4a kx y2 ()k a yb xa b()ba kx

()ba kx()ba kx4a kx y

yy

xxk

xx



222222222222222

222222

0000000

00

222

00000

,()b xa ya b

22a x ya x ya y

b xa ba yb xb xa ya yb x

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法二（点差法）：设点，则有：，

1122AB

( ,),(,)B x yC xy1,1k

222

22

0001

11

22222

01

()xybxx

()ababayy

xy

同理可得：，，因为

2

02

22

02

()bxx()bxx

()ayy()ayy

ACBCABAC

kk

2

12

12

0kk

01020201001221012012

()()()()02()()0xxyyxxyyx yx yx yyxxxyy

……①

又因，()()()()0xxyyxxyy

0102

0102

ABABABAC

yyyy

k

xxxx

0kkk

01020201

001221012012

2()()0x yx yx yyxxxyy

……②

由①②可得：

0

120

012012

120120

2()2()0yxxxyy

x

xx

yyy

2

2

12

22

()bxx

()ayya y

BC

b x

k

背景分析：注意到椭圆在点A 处的切线为，故其斜率恰好为点

00

22

1

x xy y

ab

A 处切线斜率的相反数.

直线BC 的斜率与在点A 处的切线的斜率怎么会互为相反数呢？由于直线

,AB AC 的斜率始终互为相反数，当直线AB 按照顺时针方向运动时，点C 与

点A 逐渐靠近，以至于直线AC 逐渐变为椭圆在点A 处的切线，此时直线BC

恰好与AB 重合，则在极限位置时，直线BC 的斜率与在点A 处切线的斜率互为相反数。

不妨设，则有，则有点；

,xx y

ay

b



2222

222

2222

11xya(,)(,)A xyA xy

xyxy

abaa





0000

点A 在椭圆上在圆

2222

0000

00

2222

11(,)A xy

xyxy

abaa





222

xya



上(伸缩变换)，同理可得：；

1111

(,)(,)B x yB x y



22221122

(,)(,)C xyC xy



，

(,),(,)B x yC xyxya

在圆

222

上，则有：

0101

0101

()yyb yy

()xxa xxa

ABA B

b

kk







,00kkkkkkkk

ACA CBCB CACABA CA B

bb

aa



，椭圆

的长轴变换为圆的直径，过点A作圆的切线A G

,如图所示，则有

,A B CC A GA E FA F E



+ 1=+ 2A B CC A G



1= 2，建立坐标系如图，则有

0kk

B CA G



，故有椭圆中，直线BC 的斜率与

点A 处切线的斜率的相反数.

由此可得，过椭圆上一点A 作两条斜率互为相反数的直线，则弦切角等于其所夹弧对应的圆周角，

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1

xy

ab

x

y

C

O

B

A

xD'

y

2

1

1

H'

G'

E'

F'

C'

A'

B'

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0,kk0,2121kkADEAEDCMNANMCMNANM，故

ABAC

BCAN

有过椭圆上一点A 作两条斜率互为相反数的直线，则弦切角等于其所夹弧对应的圆周角。由椭圆的推导过程可知，过点

双曲线

22

22

1上的一点A 作斜率互为相反数的直线1

xy

ab

2

,l l 与双曲线

交于两点

,B C ,则直线BC 的斜率与点A 处切线的斜率也互为相反数

设双曲线，则有：

22

22

1上的点

xy

ab

1122

(,),(,)B x yC xy

222

22

0001

11

22222

01

()xybxx

1,1k

()ababayy

AB

xy

，

同理可得：，，因为

2

02

22

02

()bxx

()ayy()ayy

AC

k0kk

2

12

12

()bxx

BCABAC

k

01020201001221012012

()()()()02()()0xxyyxxyyx yx yx yyxxxyy

……①

又因，()()()()0xxyyxxyy

0102

0102

ABABABAC

yyyy

k

xxxx

0kkk

01020201

001221012012

2()()0x yx yx yyxxxyy

……②

由①②可得：

0

120

012012

120120

2()2()0yxxxyy

x

xx

yyy

2

2

12

22

()bxx

()ayya y

BC

b x

k

设抛物线上的点，则有：，

2

2ypx

11220011AB

(,),(,)B x yC xy2,2ypxypxk

22

01

2p

yy

同理可得：，，因为

0212120

2p2p2pp

ACBC

kk

yyyyy

BCABAC120

yy

0kk20yyyk

由以上可知：过圆锥曲线上一点做A 作斜率互为相反数的直线1

2

,l l 与圆锥曲线交于两点

,B C ,则直线BC 的斜率与点A

处切线的斜率互为相反数；过圆锥曲线上一点A 作两条斜率互为相反数的直线，则弦切角等于其所夹弧对应的圆周角。

x

y

2

1

MEN

D

C

O

B

A